Ableiten ist ein Handwerk, Integrieren eine Kunst

17. November 2013

Für dieses Sprichwort habe ich kürzlich dieses sehr eindrucksvolles Beispiel gesehen!

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Neue Mathevideos

8. November 2013

Auf meinem Youtube-Kanal Leifaktor tut sich derzeit etwas.

Primärzerlegung in kommutativen Ringen (Teil 1 , Teil 2, insgesamt 81 Minuten)
Zum einen habe ich ein zweiteiliges Video zum Thema Primärzerlegung in kommutativen Ringen hochgeladen - ein Thema, zu dem ich neulich einen Seminarvortrag gehalten habe. Es werden einige grundlegende Eigenschaften der Primärzerlegung vorgestellt und bewiesen und schließlich ein Bezug zu algebraischen Geometrie hergestellt, der erkennen lässt, in welchen wechselseitigen Beziehung Algebra und Geometrie zueinander stehen. Mit Grundkenntnissen in der Ringtheorie (Primideale, Quotientenringe, Noethersche Ringe) sollte alles nachvollziehbar sein.

Das Bertrandsche Postulat (Link, 61 Minuten)
Zum anderen gibt es nun ein Video über das Bertrandsche Postulat, eine wunderschöne kleine Aussage über das Vorkommen von Primzahlen in Intervallen, mit einem Beweis von Erdős. Der Beweis kommt mit einfacher Schulmathematik aus, kombiniert diese aber auf äußerst geschickte Weise. Eine herrliche Spielerei mit Binomialkoeffizienten und erstaunlichen Zwischenergebnissen über Primfaktorzerlegungen führt letztendlich zum Ziel.

Feedback ist erwünscht!

Über Feedback in den Kommentaren (am besten auf Youtube) würde ich mich natürlich sehr freuen! Ich möchte die Videos so gut verständlich wie möglich machen und dafür ist mir eine Rückmeldung sehr wichtig! Ist die Länge der Videos in Ordnung? Sind die Erkärungen zu ausführlich? Weitere Videos sind derzeit schon in Planung, abonnieren lohnt sich also! 😉

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Mathedings Nr. 26 - Die Suche nach dem Winkel

2. November 2013

Es liegt ein Einheitsintervall im \mathbb{R}^2 herum (gemeint ist das Bild der Menge \{(x,0) : 0 \leq x \leq 1\} unter einer isometrischen Abbildung I:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2. Zur Vereinfachung der Notation definieren wir f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2 durch f(x) := I(x,0).
Wir wollen herausfinden, um welchen Winkel unser Intervall gedreht wurde und dürfen dazu beliebig viele Fragen der Art "Ist die X/Y-Koordinate von f(x) rational/algebraisch/transzendent?" stellen. Ist dies möglich?

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Mathevideos

22. Oktober 2013

Heute eröffne ich eine Serie von Mathematik-Videos, in denen ich Inhalte aus dem Studium motiviere und erkläre. Die Themen kommen aus den Bereichen Algebra, Analysis und Zahlentheorie und sollten meistens für Studenten ab dem dritten Semester nachvollziehbar sein. In der Videobeschreibung wird es jeweils eine detailliertere Auflistung der erforderlichen Vorkenntnisse geben.

Beginnen möchte ich mit einem Motivationsvideo zur Maßtheorie. Warum betreibt man Maßtheorie? Und worum geht es da genau? Das sollte das folgende Video hoffentlich beantworten. Über Feedback in den Kommentaren wäre ich sehr dankbar.

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Catalans Vermutung

6. Oktober 2013

Wir betrachten heute mal eine bestimmte Menge von natürlichen Zahlen, und zwar all jene, die sich als echte Potenz einer natürlichen Zahl größer oder gleich 2 schreiben lassen. Einen ersten Überblick über diese Menge gibt uns die folgende Tabelle:

^2 ^3 ^4 ^5 ^6 ^7 ^8 ^9 \ldots
2 4 8 16 32 64 128 256 512
3 9 27 81 243 729 2187 6561
4 16 64 256 1024 4096
5 25 125 625 3125
6 36 216 1296
7 49 343 2401
8 64 512 4096
9 81 729 6561
10 100 1000
\vdots

Ich habe Zahlen mit mehr als 4 Stellen der Übersichtlichkeit wegen weggelassen. Aufsteigend geordnet bis 1000=10^3 erhalten wir also die Menge P = {4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, ...}.

Was fällt auf? Wir haben natürlich sehr viele Quadratzahlen und nur hier und da mal eine dritte oder höhere Potenz. Für höhere Zahlbereiche wird es diesbezüglich wohl eine etwas buntere Mischung geben. Aber nichts scheint direkt ins Auge zu springen.

Auch was der belgische Mathematiker Eugène Charles Catalan 1844 an dieser Menge entdeckte, würde man zunächst wahrscheinlich für einen Zufall halten: Ihm fiel auf, dass außer 8 und 9 sonst keine zwei direkt aufeinander folgenden natürlichen Zahlen zu finden sind.

Das kann doch nicht sein, oder? Wer denkt jetzt nicht daran, schnell ein Gegenbeispiel zu suchen? Die 25 und 27 kommen sich ja bereits wieder gefährlich nahe und auch bei 125 und 128 ist die Lücke ziemlich klein. Außerdem gibt es ja unendliche viele natürlichen Zahlen und wir bekommen immer mehr verschiedene Exponenten, je weiter wir gehen. Der Bereich von 1.000.000 bis 10.000.000 wird bereits von einem Netz aus zweiten, dritten, fünften, bis hin zu dreiundzwanzigsten Potenzen überspannt. Sind Potenzen wirklich solche Einzelgänger?

Ich spoilere ja ungern, aber die Antwort ist tatsächlich ja. Der Beweis gelang erst im Jahre 2002 dem Mathematiker Preda Mihăilescu, welcher heute an der Universität Göttingen lehrt.

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