Mathedings Nr. 29 - Münzwurfsequenzen

29. Januar 2017

Wir haben eine faire Münze, deren Seiten mit 0 und 1 beschriftet sind. Wir werfen diese Münze nun immer wieder, bis wir mit vier aufeinanderfolgenden Würfen die Sequenz 0001 bekommen haben. Es stellen sich viele Fragen:

  1. Wie groß ist der Erwartungswert für die Anzahl der Würfe, bis besagte Sequenz auftritt?
  2. Wie groß ist der Erwartungswert, wenn man stattdessen die Sequenz 1111 sucht?
  3. Wie sieht man einer beliebigen (auch beliebig langen) Sequenz aus Nullen und Einsen an, welchen Erwartungswert sie hat?
  4. Warum sind die Erwartungswerte stets ganze und sogar gerade Zahlen?
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Mathedings Nr. 28 - Quadratzahlen

27. September 2016

Zeige: Außer 0, 1, 4 und 9 gibt es keine Quadratzahlen, die (im Dezimalsystem) nur aus gleichen Ziffern bestehen.

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Mathedings Nr. 27 - Ordnungserhaltende Bijektion

13. September 2015

Eine kleine Knobelaufgabe für zwischendurch: Gibt es eine ordnungserhaltende Bijektion zwischen \mathbb{Q} und \mathbb{Q} \setminus \{0\}?

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Mathedings Nr. 26 - Die Suche nach dem Winkel

2. November 2013

Es liegt ein Einheitsintervall im \mathbb{R}^2 herum (gemeint ist das Bild der Menge \{(x,0) : 0 \leq x \leq 1\} unter einer isometrischen Abbildung I:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2. Zur Vereinfachung der Notation definieren wir f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^2 durch f(x) := I(x,0).
Wir wollen herausfinden, um welchen Winkel unser Intervall gedreht wurde und dürfen dazu beliebig viele Fragen der Art "Ist die X/Y-Koordinate von f(x) rational/algebraisch/transzendent?" stellen. Ist dies möglich?

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Mathedings Nr. 25 - Schau mir in die Augen, Kleines

9. September 2013

Auf einer kleinen Einsamen Insel lebt ein Volksstamm mit einer überschaubaren Anzahl von Mitgliedern. Jeder hat blaue oder braune Augen. Eine Tradition besagt, dass niemand seine eigene Augenfarbe kennen darf, weshalb es keine reflektierenden Flächen auf der Insel gibt und auch niemand über die Augenfarbe der anderen spricht. Die Tradition besagt weiterhin, dass jeder, der seine Augenfarbe herausfindet, beim nächsten täglich stattfindenden gemeinsamen Abendessen einen rituellen Selbstmord begehen muss.

Eines Tages kommt ein Forscher auf die Insel, welcher bei seiner Abreise zu gesamten Stamm spricht und dabei anmerkt, wie harmonisch er das Zusammenleben von braun- und blauäugigen Menschen erlebt hat.

Was passiert nach der Abreise des Forschers und warum? Wir gehen hierbei davon aus, dass alle Mitglieder des Volksstammes streng logisch denken.

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